#math

In Memory of My Wife, Elise Cawley (1961–2026), with Thanks for 36 Wonderful Years

Stephen Wolfram tưởng nhớ người vợ tài năng và yêu quý Elise Cawley, chia sẻ kỷ niệm gia đình cùng những đóng góp quan trọng của bà trong lĩnh vực toán học suốt 36 năm chung sống.

Đọc bài này để hiểu cách một nhà khoa học và lập trình viên như Stephen Wolfram thể hiện sự tôn trọng và cảm động qua những nỗ lực truyền cảm hứng về sự nghiệp của Elise Cawley—nhân vật có đóng góp sâu sắc trong toán học mà nhiều người không biết đến.

Mathematical Experiments Are Becoming Abundant Through Human-Machine Teaming

Trong một thí nghiệm cuối tuần, tác giả đã sử dụng song song các tác nhân AI, công cụ kiểm tra số học chính xác và trợ lý chứng minh Lean để giải hai bài toán toán mở: xây dựng ma trận Hadamard cấp 668 và chứng minh ràng buộc cân bằng trong bài toán tĩnh điện Maxwell. Mặc dù AI đẩy nhanh thí nghiệm nhưng việc xác thực chứng minh, kiểm tra tính mới lạ và hiểu sâu vẫn là rào cản tốn kém của con người. Bài viết cũng đề cập đến những tiến bộ liên quan như AlphaEvolve hay phản ví dụ đơn vị Erdős của OpenAI, đồng thời nhấn mạnh nhu cầu về hệ thống đăng ký có thể tìm kiếm các tuyên bố và thất bại khi toán học do AI tạo ra gia tăng.

Lập trình viên nên đọc bài này để hiểu cách AI và công cụ tự động hóa như Lean đang thay đổi cách tiếp cận nghiên cứu toán học, từ việc tối ưu hóa các thí nghiệm số học cho đến việc hợp tác với con người để giải quyết những vấn đề khó khăn mà trước đây chỉ được coi là ngoài tầm tay của máy móc.

[2607.11938] Mathematics of Data Science

Bài báo arXiv 2607.11938 giới thiệu phần tóm tắt về lĩnh vực "Toán học của Khoa học Dữ liệu", đề cập đến các nền tảng toán học ứng dụng trong phân tích dữ liệu.

Những kỹ thuật toán và lý thuyết toán học trong bài viết này sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về cách xây dựng mô hình học máy hiệu quả hơn, từ đó tối ưu hóa thời gian và chất lượng dự án của mình.

Logic for Programmers

Toán học thực hành dành cho lập trình viên đang làm việc.

Lập trình viên nên đọc bài này để hiểu cách áp dụng logic toán học thực tế trong giải quyết vấn đề lập trình, từ đó tối ưu hóa hiệu suất, giảm sai sót và xây dựng giải pháp code hiệu quả hơn.

Graduate student proves a quantum uncertainty principle for fractals

Một nghiên cứu sinh đã chứng minh được nguyên lý bất định lượng tử áp dụng cho fractal, kết hợp giữa lý thuyết hỗn loạn, cơ học lượng tử và cấu trúc fractal vô hạn phức tạp, được đánh giá là "kết quả nền tảng".

Một lập trình viên nên đọc bài này để khám phá cách kết hợp lý thuyết lượng tử với sự phức tạp tự nhiên—công cụ mới giúp xây dựng các mô hình AI và hệ thống tính toán hiệu quả hơn trong tương lai.

Principia Mathematica is modern and insightful

Bài viết tóm tắt chương 1 cuốn Principia Mathematica, giới thiệu những khái niệm và lập luận hiện đại cùng những insight sâu sắc trong tác phẩm kinh điển này.

Lập trình viên nên đọc bài này để hiểu cách logic toán học và định nghĩa chính xác giúp xây dựng các thuật toán chặt chẽ, tránh những lỗi logic hoặc sai sót trong thiết kế hệ thống.

The Universe of Discourse : There are two kinds of theorems

Có hai loại định lý toán học: loại thứ nhất kiểm chứng tính nhất quán nội tại của mô hình toán học (như xác nhận góc đối đỉnh bằng nhau), loại thứ hai khám phá kết quả mới hoàn toàn dựa trên mô hình đã được xác thực (như bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hay định lý hình bình hành diện tích bằng nhau). Sự khác biệt giữa hai loại này ít khi được giảng dạy rõ ràng, khiến sinh viên bối rối khi phải chứng minh những điều hiển nhiên.

Lập trình viên nên đọc bài này để hiểu cách các định lý toán học không chỉ là công cụ xác minh logic mà còn là nguồn sáng tạo cho các giải pháp thực tế, từ chứng minh mô hình số liệu đến phát triển thuật toán tiên tiến như thuật toán tối ưu hóa.

The mathematical beauty of hyperbezier curves

Hyperbezier curves là phiên bản mở rộng của đường cong Bezier truyền thống, cho phép kiểm soát linh hoạt hơn bằng cách sử dụng nhiều điểm điều khiển. Chúng kết hợp sức mạnh toán học của đa thức Bernstein với khả năng biểu diễn hình học phức tạp, hữu ích trong thiết kế đồ họa 3D, mô hình hóa bề mặt và animation.

Một lập trình viên nên đọc bài này để hiểu cách kết hợp lý thuyết toán học tinh tế với kỹ thuật vẽ đồ họa hiện đại, giúp tối ưu hóa hiệu suất và tạo ra các đường cong mềm dẻo phức tạp hơn trong ứng dụng game, thiết kế UI hoặc hiệu ứng 3D.

MATLAB programming language sinking in popularity

Môi trường lập trình MATLAB của MathWorks lần đầu tiên trong hơn 10 năm không lọt vào top 20 bảng xếp hạng Tiobe.

Là người làm công nghệ, bạn nên đọc để hiểu cách thị trường đánh giá và chuyển động của các ngôn ngữ lập trình, đặc biệt là MATLAB, trong bối cảnh sự cạnh tranh ngày càng gay gắt giữa các công cụ hỗ trợ tính toán và phân tích khoa học.

Learning more about Claude's mathematical capabilities

Bản thử nghiệm chưa phát hành của Claude đã đạt tiến bộ đáng kể trong vấn đề liên quan đến giả thuyết Riemann khi nâng giới hạn dưới của tỷ lệ không điểm hàm Riemann zeta thỏa mãn giả thuyết từ 41,6% lên 67,2%.

Lập trình viên nên đọc bài này để khám phá cách AI hiện đại như Claude không chỉ là công cụ hỗ trợ văn bản mà còn thể hiện khả năng giải quyết vấn đề toán học phức tạp, mở rộng tầm nhìn về ứng dụng của trí tuệ nhân tạo trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

The Sylvester–Gallai Theorem

Định lý Sylvester–Gallai phát biểu rằng bất kỳ tập hợp hữu hạn, không thẳng hàng các điểm trên mặt phẳng Euclide đều tồn tại một đường thẳng đi qua đúng hai điểm trong tập hợp đó. Chứng minh của Leroy Milton Kelly sử dụng phương pháp phản chứng, dựa trên cặp điểm-đường gần nhất và tam giác đồng dạng để dẫn tới mâu thuẫn khi giả định mọi đường thẳng nối đều đi qua ba điểm trở lên.

Lập trình viên nên đọc bài này để hiểu cách áp dụng logic toán học tinh tế trong giải quyết vấn đề lập trình, đặc biệt là khi cần phân tích cấu trúc dữ liệu phức tạp, tìm kiếm giải pháp tối ưu hóa hoặc chứng minh tính chất về cấu hình điểm trong các thuật toán hình học hoặc đồ họa máy tính.

The Universe of Discourse : The road to epsilon-zero: Coin-moving games with no coins

Bài viết giới thiệu cách tiếp cận lý thuyết trò chơi tổ hợp để khám phá các số thứ tự lên đến ε₀ (epsilon-zero), sử dụng trò chơi di chuyển xu (coin-moving games) làm ví dụ. Nó đề xuất biểu diễn các heap Nim tương ứng với số thứ tự ωω dưới dạng chuỗi tọa độ hữu hạn, đơn giản hóa quy tắc di chuyển và làm rõ cấu trúc toán học, mở đường cho việc nghiên cứu ε₀ trong các bài viết tiếp theo.

Lập trình viên nên đọc bài này để hiểu cách chuyển đổi logic phức tạp về các thứ tự vô hạn (ordinals) thành các cấu trúc dễ xử lý bằng thuật toán, giúp giải quyết vấn đề tính toán hiệu quả trong các game toán học và ứng dụng về thời gian, chuỗi dữ liệu hoặc hệ thống phân cấp.

Why the Legendary Erdős Problems Are Falling to AI

AI đang giải quyết thành công nhiều bài toán nổi tiếng do nhà toán học Erdős đề xuất, hé lộ tiềm năng thay đổi cách thức nghiên cứu toán học nhờ trí tuệ nhân tạo.

Lập trình viên nên đọc bài này để hiểu cách AI giải quyết các vấn đề toán học phức tạp bằng cách phân tích những nguyên tắc cơ bản của lý thuyết đồ thị và logic, có thể áp dụng vào việc xây dựng các thuật toán hiệu quả cho các vấn đề lập trình thực tế.

June 5, 2026

Bài viết xem xét lại các thuật toán quay vòng, đề xuất phương pháp đếm thay vì tính toán GCD khi thực hiện phân tích chu kỳ.

Lập trình viên nên đọc bài này để tìm hiểu cách tối ưu hóa chuỗi vòng lặp trong phân tích chuỗi chu kỳ bằng cách loại bỏ tính toán GCD phức tạp, thay vào đó sử dụng phương pháp đếm hiệu quả hơn.

OpenAI Says Next-Generation Model Solved 10 Major Open Problems in Quantum Complexity, Mathematics

OpenAI tuyên bố phiên bản nội bộ sắp ra mắt của dòng mô hình Astra đã giải quyết thành công 10 bài toán mở quan trọng trong lĩnh vực phức tạp lượng tử và toán học.

Lập trình viên cần đọc bài này để hiểu cách AI hiện đại đang giải quyết những thách thức toán học và tính toán phức tạp, từ đó tìm hiểu ứng dụng thực tế trong việc tối ưu hóa thuật toán, giải quyết vấn đề khoa học và phát triển hệ thống thông minh mới.

Ten advances in mathematics and theoretical computer science

OpenAI công bố những tiến bộ mới giải quyết các bài toán mở lâu năm trong lĩnh vực toán học và khoa học máy tính lý thuyết, đặc biệt là những đột phá trong hình học, mật mã học và lý thuyết độ phức tạp.

Lập trình viên nên đọc bài này để hiểu cách các giải pháp toán học tiên tiến—như chứng minh về tính quyết định của các vấn đề NP-complete hoặc cải tiến thuật toán cho mật mã—có thể thay đổi thiết kế hệ thống, tối ưu hóa hiệu suất hoặc bảo mật ứng dụng của họ.

A Simplified View of the Jacobian Conjecture

Một kết quả toán học mới của Levent Alpöge, sử dụng trợ lý AI (Anthropic's Fable/Claude), đã bác bỏ Giả thuyết Jacobian tồn tại suốt một thế kỷ bằng cách đưa ra phản ví dụ 3D cụ thể. Giả thuyết này đặt câu hỏi liệu một biến dạng đa thức trơn, không sụp đổ của không gian vô hạn có luôn khả nghịch toàn cục hay không. Phản ví dụ là một hàm đa thức 3D có định thức Jacobian không đổi khác 0 (không co thắt hay xé rách cục bộ) nhưng vẫn ánh xạ hai đầu vào khác nhau tới cùng đầu ra, chứng minh giả thuyết sai. Việc bác bỏ này có thể kiểm chứng bằng đại số và giải tích cơ bản, dù phải mất gần 100 năm mới tìm ra. Phiên bản 2D của giả thuyết vẫn chưa có lời giải.

Lập trình viên nên đọc bài này để hiểu cách AI hỗ trợ giải quyết những vấn đề toán học phức tạp, giúp mở rộng kiến thức về tính toán và ứng dụng của trí tuệ nhân tạo trong khoa học, từ đó có thể áp dụng những kỹ năng này vào việc tối ưu hóa và phát triển các giải pháp công nghệ tiên tiến.

The Universe of Discourse : The road to epsilon-zero: Infinite Nim as a coin-moving game

Bài viết tái diễn giải trò chơi Nim dưới dạng di chuyển coin trên một đường kẻ số, tương đương với việc rút quân từ các đống. Sau đó, tác giả mở rộng mô hình này lên các cấp ordinal vô hạn (ω, ω², ω³, ω^ω) bằng cấu trúc hình học đa chiều, giúp trực quan hóa ordinal siêu hạn mà không cần ký hiệu đặc biệt.

Lập trình viên nên đọc bài này để hiểu cách áp dụng mô hình toán học về game Nim và thứ tự vô hạn (ordinals) để giải quyết vấn đề tối ưu hóa, phân tích thuật toán, hoặc thiết kế hệ thống có độ phức tạp vô hạn—chẳng hạn trong việc phân tích thời gian chạy, quản lý bộ nhớ, hoặc thiết kế cơ sở dữ liệu không giới hạn.

Yu Deng ’11 and Hong Wang PhD ’19 awarded Fields Medal

MIT alumni Yu Deng and Hong Wang were each awarded a Fields Medal at the International Congress of Mathematicians 2026. The Fields Medal is regarded as one of the highest honors a mathematician can receive.

The Dark Night of Mathematics

Toán học đang đối mặt với cuộc khủng hoảng về sự thiếu hiểu biết sâu sắc, khi các nhà nghiên cứu ngày càng dựa vào máy tính và thuật toán thay vì tư duy trừu tượng thuần túy.

Lập trình viên nên đọc bài này để hiểu sâu hơn về bản chất của công việc mình thực hành—những vấn đề không chỉ là viết mã mà còn là giải quyết những câu hỏi logic, khám phá nguyên lý và cách suy nghĩ như một nhà toán học, giúp nâng cao tư duy giải quyết vấn đề và sáng tạo trong công việc.

Fields Medals 2026

The International Mathematical Union has announced the 2026 Fields Medal recipients. Four mathematicians are recognized: one for work in partial differential equations including derivation of the Boltzmann equation and wave kinetic equations; one for achievements in symplectic geometry, Fukaya categories, and knot theory; one for recasting o-minimality in arithmetic and algebraic geometry and proving major conjectures including the André-Oort conjecture; and one for advances in harmonic analysis and geometric measure theory, including progress on the Kakeya problem and Fourier restriction.

I Built Adaptive Noise Cancellation in MATLAB Then Realized It Was Online Regression

I Built Adaptive Noise Cancellation in MATLAB Then Realized It Was Online Regression How a 60-year-old signal processing algorithm quietly laid the mathematical bones for modern machine …

Have You Ever Created a MATLAB Plot and Thought, “There Has to Be an Easier Way?”

Have You Ever Created a MATLAB Plot and Thought, “There Has to Be an Easier Way?” The first time I learned MATLAB, I believed plotting meant memorizing …

AI just disproved the 87-year-old Jacobian conjecture

Anthropic’s Fable 5 found a 216-character counterexample to the Jacobian conjecture, an 87-year-old maths problem. Experts are split on what it means.

What does the Riemann zeta function have to do with the distribution of the primes?

Hàm Riemann zeta kết nối mật thiết với sự phân bố của số nguyên tố thông qua công thức tích Euler, kỹ thuật logarit và chuỗi Taylor, chứng minh rằng số nguyên tố không quá thưa thớt. Riemann đưa ra công thức tường minh π(x) ≈ Li(x) − Σ Li(x^ρ), trong đó các không điểm của zeta quyết định độ chính xác của phép xấp xỉ đếm số nguyên tố của Gauss. Giả thuyết Riemann (các không điểm phi tầm thường đều có phần thực 1/2) sẽ tối ưu hóa độ chính xác này.

Lập trình viên nên đọc bài này để hiểu cách các công cụ toán học cổ điển như hàm zeta Riemann và giả thuyết Riemann không chỉ là lý thuyết trừu tượng mà còn giúp giải quyết những thách thức thực tế về phân bố số nguyên tố, từ đó có thể ứng dụng vào việc tối ưu hóa thuật toán tìm kiếm, phân tích dữ liệu lớn, hoặc thậm chí là thiết kế hệ thống phân tán hiệu quả hơn.

levent (@__alpoge__)

Một nhà toán học tuyên bố đã tìm ra phản ví dụ cho giả thuyết Jacobian, một bài toán mở nổi tiếng trong toán học. Phản ví dụ được đề xuất là một ánh xạ đa thức từ C^3 đến C^3 với định thức Jacobian hằng (-2) nhưng không đơn ánh, được chứng minh bằng cách chỉ ra ba điểm khác nhau cùng ánh xạ tới một ảnh.

Lập trình viên nên đọc bài này để hiểu cách ứng dụng lý thuyết đại số và tính toán số học hiện đại—như Jacobian—để giải quyết những vấn đề toán học khó nhất, giúp hiểu rõ hơn về cách các công cụ toán học tiên tiến có thể mở rộng và tác động đến các lĩnh vực lập trình và khoa học dữ liệu.

The Universe of Discourse : The road to epsilon-zero: ordinals as nim-heaps

Bài viết khám phá mối liên hệ giữa số thứ tự (ordinals) và trò chơi Nim trong lý thuyết trò chơi tổ hợp, nơi các ordinal hữu hạn tương ứng với chồng hạt đậu, còn ordinal vô hạn như ω được biểu diễn bằng các token đặc biệt. Tác giả giải thích cách các nước đi trong Nim tương ứng với việc giảm ordinal xuống các ordinal nhỏ hơn, mở rộng khái niệm này tới những ordinal lớn hơn như ω·2, ω·3+5 và ω², nhằm xây dựng nền tảng trực quan hướng tới ε₀.

Lập trình viên nên đọc bài này để hiểu cách ứng dụng logic của ordinals—một khái niệm trừu tượng từ toán học—để giải quyết vấn đề phức tạp về tính toán, tối ưu hóa thuật toán, và phân tích cấu trúc dữ liệu trong các game hoặc thuật toán lựa chọn quyết định.

OpenBLAS 0.3.34 Improves Multi-Threading, Support For A Memory-Safe C Toolchain

OpenBLAS 0.3.34 cải tiến đa luồng ở nhiều nhân (SPR, SYR, TBMV, GETRS...) và bổ sung hỗ trợ Fil-C, một toolchain C/C++ an toàn bộ nhớ dựa trên LLVM. Phiên bản mới tối ưu hiệu năng SGEMM trên ARM, cải thiện nhân ARM64/RISC-V 64-bit, cập nhật kiểm tra CPU Zhaoxin x86_64, cùng nhiều sửa lỗi cho nền tảng cũ như AMD Opteron/Barcelona.

Lập trình viên muốn tối ưu hiệu suất cho các ứng dụng tính toán khoa học hoặc xây dựng ứng dụng sử dụng LAPACK/BLAS trên nhiều nền tảng khác nhau nên đọc để biết cách cải thiện hiệu năng multi-threading và mở rộng khả năng tương thích với các công cụ mới như Fil-C.

Immersive Math

Sách giáo khoa đại số tuyến tính tương tác đầu tiên tích hợp các hình ảnh trực quan tương tác, bao gồm vector, dot product, cross product, hệ phương trình tuyến tính, ma trận, định thức, trị riêng và biến đổi tuyến tính.

Lập trình viên nên đọc Immersive Math vì nó giúp hiểu sâu sắc về các khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính—chính là nền tảng quan trọng cho việc xây dựng và phân tích các mô hình toán học trong lập trình, từ vector hóa đồ họa đến machine learning.

Why Your Betas Explode: The Hidden Geometry of Multicollinearity

A deep dive into multicollinearity in linear regression, explaining why OLS coefficients become unstable when features are highly correlated. Using Linear TV vs. Digital TV as a running example, the piece traces the problem from the OLS closed-form solution through linear algebra (Gram matrix, determinant, matrix inverse) to a geometric interpretation: correlated feature vectors collapse the volume of the feature space, causing the inverse of the Gram matrix to blow up and standard errors to explode. The same phenomenon is then translated into VIF and condition number diagnostics. A Python code demo with statsmodels shows how standard errors inflate as correlation rises from 0.3 to 0.99, while an independent channel (OOH) remains unaffected.

Notes on the Fourier Transform

Bài viết trình bày chi tiết về biến đổi Fourier, mở rộng từ chuỗi Fourier sang các hàm không tuần hoàn trên khoảng vô hạn, thông qua giới hạn tổng Riemann khi chu kỳ tiến tới vô cùng. Nội dung bao gồm ví dụ tính biến đổi Fourier của xung tam giác lẻ, giải thích tín hiệu trong miền tần số, điều kiện tồn tại (tính khả tích tuyệt đối), cùng các tính chất quan trọng như tuyến tính, scaling, dịch thời gian, biến đổi đạo hàm và định lý tích chập. Phụ lục bổ sung kiến thức về tổng Riemann và tích phân xác định.

Lập trình viên nên đọc bài này để hiểu cách Fourier transform giúp phân tích và xử lý hiệu quả tín hiệu, âm thanh, hình ảnh trong các ứng dụng AI, xử lý tín hiệu thực tế, và tối ưu hóa thuật toán thông qua biến đổi từ thời gian sang tần số.

Eigenvalues for People Who Slept Through Linear Algebra

Bài viết giải thích eigenvalues và eigenvectors theo cách thân thiện, dễ hiểu như một người bạn chia sẻ lúc 2 giờ sáng, kèm theo hình vẽ, câu đùa và đoạn code hoạt động.

Lập trình viên nên đọc bài này vì những giá trị riêng (eigenvalues) và vectơ riêng (eigenvectors) là công cụ bí mật giúp giải quyết các vấn đề thực tế như phân tích dữ liệu, tối ưu hóa thuật toán, và thậm chí là giải quyết các vấn đề AI đơn giản hơn nhiều.

[2607.06377] Automation Without Understanding

Năm 2026, AI đã chứng minh được một giả thuyết toán học của Erdős, nhưng việc Mỹ cắt giảm tài trợ đào tạo con người hiểu và xác minh các nghiên cứu tương tự là một sai lầm chiến lược. Khả năng toán học (xác minh, diễn giải và thách thức lập luận) cần hàng thập kỷ mới xây dựng được, không thể nhanh chóng tái tạo, tương tự như năng lực bán dẫn. Tác giả đề xuất yêu cầu AI phải trình bày các lập luận quan trọng dưới dạng chính thức, có thể kiểm tra bởi máy móc để đảm bảo tính minh bạch.

Những lập trình viên chuyên sâu về toán học và logic nên đọc bài này để hiểu cách AI đang thay đổi cơ sở hạ tầng cho việc chứng minh và kiểm chứng toán học, và cách chúng ta cần bảo vệ sự minh bạch trong công nghệ mới để tránh mất đi kiến thức quan trọng mà không thể tái tạo nhanh chóng.

The Universe of Discourse : Starting to understand epsilon-zero

An introduction to infinite ordinal numbers and epsilon-zero (ϵ₀), building from elementary set theory. Explains how natural numbers can be modeled as transitive sets, how the less-than relation maps to set membership, how successor ordinals are constructed, and how limit ordinals like ω emerge from unions of infinite families of ordinals. The post traces the progression from ω through increasingly complex ordinal expressions up to ϵ₀, the smallest ordinal x satisfying x = ωˣ, setting up a follow-up post to explain this property more deeply.

Tutorials

Trang hướng dẫn của Otary cung cấp các ví dụ sử dụng thư viện, bao gồm xử lý ảnh (cắt ảnh, OCR), xử lý thực thể tuyến tính, tính toán diện tích, giao điểm đối tượng hình học và chấm điểm.

Nếu bạn đang làm việc với các công cụ xử lý hình ảnh, tính toán hình học hoặc tự động hóa phân tích dữ liệu hình ảnh, Otary sẽ giúp bạn tiết kiệm thời gian và code hiệu quả với các ví dụ cụ thể về cắt hình, tính diện tích, tìm giao điểm, và OCR.

GitHub - dicroce/wyrm_math: Algebra engine.

wyrm-math là một thư viện TypeScript thuần túy, không phụ thuộc, cung cấp engine đại số biểu tượng dành cho giao diện toán học tương tác, nơi người dùng thao tác phương trình qua cử chỉ. Engine này đảm bảo mọi thao tác đều hợp lệ nhờ hệ thống rewrite rules, hỗ trợ xử lý lỗi (như chia cho 0) qua Assumptions, và cung cấp các tiện ích như AST bất biến, bigint arithmetic, cùng công cụ layout geometry.

Là người phát triển ứng dụng giao tiếp số hoặc cần xử lý toán học tự động, wyrm-math sẽ giúp bạn xây dựng giải pháp chính xác, hiệu quả và tương tác người dùng thông qua giao diện tương tác tay nắm mà không phụ thuộc vào các thư viện phụ.

Dot product: Component vs. Geometric definition

Bài viết giải thích toán học tại sao hai định nghĩa dot product (tích vô hướng) của vector – theo thành phần (component) và theo hình học (geometric) – là tương đương. Hai cách chứng minh được trình bày: một dựa trên định lý cosin trong tam giác tạo bởi hai vector, và một dựa trên phép chiếu (projection) từ định nghĩa hình học để suy ra dạng thành phần sử dụng hệ cơ sở trực chuẩn (orthonormal basis). Phần phụ lục mở rộng khái niệm không gian tích trong (inner product spaces) và chứng minh các tính chất đối xứng, tuyến tính, xác định dương của phép toán dot product tiêu chuẩn, cùng định nghĩa chuẩn vector (vector norms).

Lập trình viên nên đọc bài này để hiểu rõ cách tính toán hiệu quả các phép toán vector trong các thuật toán máy học, vật lý mô phỏng hoặc xử lý dữ liệu, từ đó tối ưu hóa mã nguồn và giải quyết vấn đề về độ chính xác và hiệu suất.

What To Learn To Be A Graphics Programmer

A practical guide for aspiring graphics programmers covering what to learn to become hireable. Graphics programming is framed as two parallel tracks: the CPU side (explicit APIs like DirectX 12, Vulkan, Metal) and the GPU side (lighting math, shading, shadows, ambient occlusion, post-processing). Recommended learning resources include 'Ray Tracing in One Weekend' for path tracing, learnopengl.com for PBR theory, the Filament documentation for deeper PBR, and the PBRT book. Required math is manageable — linear algebra, basic trigonometry, and some calculus — while knowledge of standard data structures and algorithms is also advised. The author briefly notes skepticism about LLM hype but acknowledges ML has a place in the toolbox.

Some recent discoveries

A personal blog post covering four unrelated recent discoveries: the Vesuvius Challenge team's successful imaging and partial transcription of Herculaneum scroll PHerc. 1667 (a philosophical treatise, ~300-400 words recovered); the rediscovery of three lost songs from Gilbert & Sullivan's Iolanthe found in a British Library manuscript; a proposed (skeptically received) decipherment of the Minoan Linear A script as Semitic; and a real-world art installation featuring the 'hat' aperiodic monotile discovered in 2022.

The Geometry of Uncertainty: A Fresh Perspective on Probability Distributions

A geometric and combinatorial reconstruction of the most fundamental probability distributions — exponential, Poisson, and normal — building from first principles rather than formulas. The exponential distribution is presented as the most primitive (requiring only a constant rate), Poisson as its counting consequence, and the normal distribution as the inevitable attractor of repeated convolution, visibly hiding inside Pascal's Triangle. The Law of Large Numbers is derived from just three simple properties (linearity of sum, variance scaling, mean scaling), revealing that the sample mean is an entirely different random variable from the original — one that converges toward certainty while individual outcomes remain permanently uncertain. The core insight is that independent deviations cannot conspire, making variance grow linearly rather than quadratically, and that this sub-quadratic growth is the true engine of the LLN.